Leonhard Euler
(1707-1783)

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com
CHUÛ ÑEÀ 1

SOÁ CHÍNH PHÖÔNG
1. Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Số nguyên A đƣợc gọi là số chính phƣơng nếu tồn tại số nguyên dƣơng a sao cho:
A = a2
Phát biểu: Số chính phƣơng là số bằng bình phƣơng của một số tự nhiên.
Lƣu ý: Mƣời số chính phƣơng đầu tiên là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,...
Tính chất:
Số chính phƣơng có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Số chính phƣơng chia cho 3 chỉ có thể dƣ 0 hoặc 1.
Kí hiệu: 3n và 3n + 1, (n N)
Số chính phƣơng chia cho 4 chỉ có thể dƣ 0 hoặc 1.
Kí hiệu: 4n và 4n + 1, (n N)
Vận dụng tính chất:
Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phƣơng thì mỗi số a, b cũng
là một số chính phƣơng.
Khi phân tích một số chính phƣơng ra thừa số nguyên tố ta đƣợc các thừa số là lũy thừa của số
nguyên tố với số mũ chẳn.
Ví dụ: 3600 = 602 = 24.32.52
Một số cách nhận biết số không chính phương N:
(1) Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2,3,7,8.
(2) Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ.
(3) Xét số dƣ khi N cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5 cho 8.
(4) Chứng minh N nằm giữa hai số chính phƣơng liên tiếp.
(5) N chia cho 3 dƣ 2; N chia cho 4; 5 có số dƣ là 2; 3.
(6) Một số tính chất về số dƣ khi chia cho 5, 6, 7, ... các bạn có thể tự suy ra bằng cách đặt số ban
đầu là nk + q (Ví dụ: 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, ...).
Lưu ý:
Khi Giải các bài toán về số chính phƣơng ta có thể áp dụng "phƣơng pháp modun (mod)", nghĩa là
xét số dƣ của các số chính phƣơng khi chia cho 1 số nguyên nào đó.
Ví dụ 1: Tìm k để 4k + 3 = a2
Giải
Giả sử: 4k + 3 = a2.
Khi đó: a2  3 (mod 4)
(1)
Ta lại có, nếu a là số chính phƣơng thì a2  0, 1 (mod 4)
(2)
Từ (1) và (2) thì vô lý.
Vậy không có số k thỏa mãn 4k + 3 là số chính phƣơng.
Ví dụ 2: Tìm a  N* để phƣơng trình sau có nghiệm nguyên:
x2 + 2ax - 3a = 0
Giải
Xét ' = a2 + 3a.
Để phƣơng trình trên có nghiệm nguyên thì a2 + 3a phải là số chính phƣơng.
a2 < a2 + 3a < a2 + 4a + 4  a2 < a2 + 3a < (a + 2)2
Do đó: a2 + 3a = a2 + 2a + 1  a = 1.
Với a = 1 thì phƣơng trình có nghiệm nguyên là x = 1 hay x = -3.
2. Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phƣơng:
a. n2 + 2n + 12
b. n (n+3)
2
c. n + n + 1589
Giải
Biên soạn: Trần Trung Chính

1

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phƣơng nên đặt:
n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)
 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2
 k2 – (n + 1)2 = 11
 (k + n + 1)(k - n - 1) = 11
Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dƣơng, nên ta có thể viết
k + n +1 = 11
k = 6
(k + n + 1)(k - n - 1) = 11.1  

k - n -1 = 1
n = 4
Vậy n = 4.
Bài tập 2: Cho A là số chính phƣơng gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị
thì ta đƣợc số chính phƣơng B. Hãy tìm các số A và B.
Giải
Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = (a +1)(b +1)(c +1)(d +1) = m2,
với k, m  N và 32 < k < m < 100; a, b, c, d  N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
 m2 – k2 = 1111
 (m - k)(m + k) = 1111.
Xét các trƣờng hợp, kết quả: A = 2025 , B = 3136 .
Bài tập 3: Tìm a để 17a + 8 là số chính phƣơng.
Giải
Giả sử luôn tồn tại y  N sao cho: 17a + 8 = y2.
Khi đó:
 17(a - 1) = y2 - 25
 17(a - 1) = (y + 5(y - 5)

 y - 517

 

 y + 517

 y = 17n  5
 a = 17n2  10n + 1.
Bài tập 4: Chứng minh 3n + 63 không chính phƣơng, (n N, n ≠ 0, 4)
Giải
Xét n lẻ. Đặt: n = 2k + 1, (k N)
Ta có: 32k+1  (-1)2k+1(mod 4)  -1 (mod 4).
63  3 (mod 4)
 32k+1 + 63  2 (mod 4)
 3n + 63 không chính phƣơng.
Xét n chẵn. Đặt n = 2k, (k ≠ 0).
Vì y  3 nên ta đặt: y = 3t, (t  N)
Khi đó, ta có:
32k + 63 = 9t2.
32k-2 + 7 = t2
 t2 - (3k-1)2 = 7
 (t - 3k-1)(t + 3k+1) = 7
 t - 3k-1 = 1
 
 t + 3k+1 = 7
 2. 3k-1 = 6
 3k-1 = 3
k=2
 n= 4 (trái với giả thiết đề bài)
Vậy 3n + 63 không là số chính phƣơng với (n ≠ 0, 4).
Biên soạn: Trần Trung Chính

2

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com

Bài tập 5: Chứng minh rằng phƣơng trình x2 + y2 + 1 = z2 có vô số nghiệm nguyên.
Giải
n  N*, ta chọn x = 2n2; y = 2n; z = 2n2 + 1.
Ta có: x2 + y2 + 1 = (2n2)2 + (2n)2 + 1 = (2n2 + 1)2 = z2.
Do đó phƣơng trình có vô số nghiệm.
Bài tập 6: Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1). Chứng minh rằng p - 1 không phải là số
chính phƣơng.
Giải
Giả sử p - 1 là số chính phƣơng. Do p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n > 1 ).
Suy ra: p3 . Do đó p - 1  -1 (mod 3)
Đặt: p - 1 = 3k - 1.
Một số chính phƣơng không có dạng 3k - 1. Từ đây ta có điều mâu thuẫn.
Bài tập 7: Chứng minh n7 + 34n + 5 không chính phƣơng.
Giải
Bổ đề x2  i (mod 7); i  {0; 1; 2; 4}
Theo định lý Fermat, ta có: n7  n (mod 7)
 n7 + 34n + 5  35n + 5 (mod 7)
 n7 + 34n + 5  6 (mod 7)
Giả sử n7 + 34n + 5 = x2, x  N.
Suy ra: x2  5 (mod 7) (vô lý)
Do đó n7 + 34n + 5 không phải là số chính phƣơng.
Bài tập 8: Cho k1 < k2 < k3 < ... là những số nguyên dƣơng, không có hai số nào liên tiếp và đặt S n =
k1 + k2 + ... + kn, n = 1, 2, ...
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng, khoảng [S n, Sn+1) chứa ít nhất một số chính phƣơng.
Giải
Nhận xét: Khoảng [Sn, Sn+1) có ít nhất một số chính phƣơng khi và chỉ khi khoảng  Sn , Sn+1 có



ít nhất một số nguyên dƣơng, tức là:
Ta có:
Sn 1  Sn  1

 Sn 1 





Sn  1

 Sn  k n 1 



Sn 1  Sn  1 .

2



Sn  1

2

 k n 1  2 Sn  1
Theo đề bài, ta thấy:
k n 1  k n  2, n  N*

 Sn  nk n 1  n  n  1
Ta cần chứng minh:
k n 1  2 nk n 1  n  n  1  1

 k 2n 1  2k n 1  1  4nk n 1  4n  n  1
 k 2n 1  2  2n  1 k n 1   2n  1  0
2

  k n 1  2n  1  0
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng.
Do đó với mọi số nguyên dƣơng n, khoảng [S n, Sn+1) chứa ít nhất một số chính phƣơng.
Bài tập 9: Chứng minh rằng với mọi số kN thì số:
A = 1 + 92k + 772k + 19772k
Không phải là số chính phƣơng.
Giải
2

Biên soạn: Trần Trung Chính

3

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
Bất kỳ số chính phƣơng nào cũng có dạng 3t hoặc 3t + 1, với t  N. Ta có:
A = 1 + 92k + 772k + 19772k có dạng 3l + 2 với l N.
Do đó A không phải là số chính phƣơng.
Bài tập 10: Chứng minh rằng với mọi số mN thì số:
A = 1 + 92m + 802m + 19802m
Có phải là số chính phƣơng không?
Giải
Bất kỳ số chính phƣơng nào cũng có dạng 4n hoặc 4n+1, n N
Ta có:
A = 1 + 92m + 802m + 19802k
Có dạng 4q + 2, với q  N.
Suy ra A không là số chính phƣơng.
Bài tập 11: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp, của hai số chẵn liên tiếp hoặc 2 số lẻ liên tiếp có thẻ là
số chính phƣơng không?
Giải
Ta chứng minh với hai số tự nhiên liên tiếp:
Ta có:
n2 < n(n + 1) < (n + 1)2, nN
Do đó n(n + 1) không chính phƣơng.
Ta chứng minh với hai số chẵn liên tiếp:
Gọi a = 2k(2k + 2), với k N.
Nhận xét rằng:
4k2 < a < (2k + 1)2
Suy ra a không là số chính phƣơng.
Ta chứng minh với hai số lẻ liên tiếp:
Đặt: b = (2k + 1)(2k + 3), k N.
(2k + 1)2 < (2k + 1)(2k + 3) < (2k + 3)2
Suy ra b không là số chính phƣơng.
Bài tập 12: Chứng minh rằng tổng bình phƣơng của hai số lẻ bất kỳ không phải là số chính phƣơng.
Giải
a và b là hai số lẻ nên a2 = 4l + 1 và b2 = 4m + 1m với l , m N.
Suy ra: a2 + b2 = 4t + 2, t  N.
Do đó: a2 + b2 không thể là số chính phƣơng.
Bài tập 13: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là 1 số chính phƣơng.
Giải
Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2)
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2.
Đây là một số chính phƣơng. (Đpcm)
Bài tập 14: Tổng bình phƣơng của 5 số tự nhiên liên tiếp có phải là số chính phƣơng không?
Giải
Gọi A = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2 + (n + 4)2
A = 5n2 + 20n + 30 = 5(n2 + 4n + 6)
Giả sử A là một số chính phƣơng.
Suy ra: n2 + 4n + 6 = 5t2
 (n + 2)2 + 2 = 5t2
 (n + 2)2 = 5t2 - 2
 (n + 2)2 = 5q + 3
Điều này vô lý.
Vậy tổng bình phƣơng 5 số tự nhiện liên tiếp không thể là một số chính phƣơng.
Bài tập 15: Các số: abab, abba, abcabc
Có phải là những số chính phƣơng không?
Biên soạn: Trần Trung Chính

4

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com

Giải
Ta có: abab  101ab
Do đó abab không thể là số chính phƣơng.
abcabc  1001abc
Suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập 16: Có số chính phƣơng nào chia hết cho 55 có dạng abca không?
Giải
Giả sử tồn tại số chính phƣơng k2 có dạng abca và chia hết cho 55.
Suy ra: k2  5 và k2  11
Mà (5, 11) = 1 nên k2  55. Khi đó: k2 = 55t, t  N.
Ta có:
1000  (55t)2 = 55m  9999
 1000  3025t2  9999
 1  t2  3.
 t2 = 1
 t = 1.
 k2 = 3025  abca
Vậy không tồn tại số chính phƣơng có dạng abca và chia hết cho 55.
Bài tập 17: Tìm số chính phƣơng có dạng 22ab
Giải
Ta có:
2116 < 22ab < 2304
 462 < 22ab < 482
Do đó: Nếu 22ab là một số chính phƣơng thì 22ab = 472 = 2209.
Vậy số chính phƣơng phải tìm là 2209.
Bài tập 18: Tìm số chính phƣơng có 4 chữ số sao cho 3 chữ số đầu hoặc cuối giống nhau.
Giải
1) Giả sử abbb là số chính phƣơng. Nếu chữ số hàng đơn vị là số lẻ thì chữ số hàng chục là chữ số
chẵn, do đó b không thể lẻ.
Mặt khác abbb chính phƣơng thì b chỉ có thể là 0, 1, 4, 6, 9
Do đó b = 0, 4, 6
Nếu b = 0 thì a000 không chính phƣơng.
Nếu b = 4 thì a444 chính phƣơng khi a = 1.
Nếu b = 6 thì a666 thì không chính phƣơng.
Ta có 1444 là số chính phƣơng.
2) Không có số chính phƣơng nào có dạng aaab .
Bài tập 19: Nghiên cứu các số chính phƣơng có các chữ số giống nhau.
Giải
Xem số A = aa...aa (n chữ số a)
Suy ra: A = a.11...11 (n chữ số 1)
Không có số chính phƣơng nào tận cùng bởi một trong các chữ số: 2, 3, 7, 8
Suy ra: a  2, 3, 7, 8
Nếu chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ thì chữ số hàng chục phải là chữ số chẵn.
Suy ra a  1, 3, 5, 7, 9
Nếu chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 thì chữ số hàng chục phải là chữ số lẻ.
Biên soạn: Trần Trung Chính

5

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
Suy ra a  4, 6
Dĩ nhiên a  0.
Vậy không có số chính phƣơng nào mà tất cả các chữ số đều giống nhau.
Bài tập 20: Cho số A = n4 + 14n3 + 71n2 + 154n + 120, với n  N.
a) Phân tích A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng A không thể là một số chính phƣơng.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lê Quý Đôn Nha Trang năm học 1996 - 1997)
Giải
a) Ta có:
A = n4 + 14n3 + 71n2 + 154n + 120
= (n4 + 14n3 + 49n2) + (22n2 + 154n) + 120
= (n2 + 7n)2 + 22(n2 + 7n) + 120)
= (n2 + 7n + 10)(n2 + 7n + 12)
= (n + 2)(n + 5)(n + 3)(n + 4)
Vậy A = (n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)
b) Các bạn làm tƣơng tự bài 11.
Bài tập 21: Cho a và b là 2 số tự nhiên, a2 - b2 có thể là một số chính phƣơng không?
Giải
Ta có: a2 - b2 = (a - b)(a + b)
Giả sử a > 0
Muốn cho a2 - b2 là một số chính phƣơng, ta chỉ cần chọn:
a  b  du2

2
a  b  dv , u > v

d u2  v2
a 

2

2
d u  v2

b 

2
Trong đó hoặc d chẵn hoặc u và v cùng tính chất chẵn, lẻ (u > v).
Lúc đó, ta có: a2 - b2 = c2  a2 = b2 + c2.
Các nghiệm của phƣơng trình là: a  d u2  v2 , b  d u2  v2











2







2

Vậy a - b có thể là một số chính phƣơng.
Bài tập 22:
1) Tìm số có hai chữ số ab sao cho số n  ab  ba là một số chính phƣơng.
2) Tìm số có hai chữ số ab sao cho số m  ab  ba là một số chính phƣơng.
Giải
1) Ta có: n  ab  ba = k2, k N*, với a, b, k N và a  0, b  9, a  0.
 9(a - b) = k2
Do đó (a - b) là một số chính phƣơng.
Mặt khác, ta có: a - b  9.
Do đó ta có: a - b = 1 v a - b = 4 v a - b = 9.
Xét trƣờng hợp a - b = 1  a = b + 1.
Có 9 số thỏa: 10; 21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98.
Xét trƣờng hợp a - b = 4  a = b + 4 có 6 số thỏa: 40; 51; 62; 73; 84; 95.
Xét trƣờng hợp a - b = 9  a = b + 9 có một số duy nhất thỏa là 90.
Vậy có 16 số thảo mãn yêu cầu.
2) Ta có: m  ab  ba = q2, q N*
 11(a + b) = q2
Do đó, ta có: a + b = 11t2, t  N*
Biên soạn: Trần Trung Chính

6

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com

Mặt khác, ta có: 1  a + b  18  t2 = 1  a + b = 11.
Có 8 số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92.
Bài tập 23: Tìm số a  N sao cho các số sau là những số chính phƣơng:
a) a2 + a + 1589
b) 13a + 3
c) a(a + 3)
d) a2 + 81
e) a2 + a + 43
f) 3a + 72
Giải
a) Đặt: a2 + a + 1589 = k2, k  N.
Suy ra: (2a + 1)2 + 6355 = 4k2
 (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 6355
Nhận xét rằng: 2k + 2a + 1 và 2k - 2a - 1 lẻ và 2k + 2a + 1 > 2k - 2a - 1 > 0
Do đó ta viết: (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.42
Suy ra a có thể có các giá trị sau: 1588, 316, 42, 28.
b) Đặt: 13a + 3 = y2, y  N.
 13(a - 1) = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4)
 (y + 4)(y - 4)  13, (13 là số nguyên tố)
 y + 4  13 hoặc y - 4  13
 y = 13n  4, n nguyên tố, không âm.
 13(a - 1) = (13n  4)2 - 16 = 13n(13n  8)
 a = 13n2  8n + 1
c) Đặt: a(a + 3) = y2, y  N.
 (2a + 3)2 = 4y2 + 9
 (2a + 2y + 3)(2a - 2y + 3) = 9
2a + 2y + 3  2a - 2y + 3 > 0 và 2a + 2y + 3, 2a - 2y + 3 nguyên.
Do đó:

2a  2y  3  9 a  1


2a

2y

3

1
y  2

d) Đặt: a2 + 81 = z2, z  N.
 z2 - a2 = 81
 (z + a)(z - a) = 81
Ta có: z + a  z - a > 0
Và z + a, z - a  N.
Do đó, ta có các khả năng sau:

z  a  81 a  40 z  a  27 a  21


và 
và

z  a  1
z  41 z  a  3
z  15

z  a  9 a  0


z  a  9 z  9

e) Đặt: a2 + a + 43 = k2, k  N.
 4a2 + 4a + 172 = 4k2
 (2a + 1)2 + 171 = 4k2
 4k2 - (2a + 1)2 = 171
 (2k + 2a + 1)(2k - 2a - 1) = 171 = 3. 57 = 9.19
Các bạn tự giải tiếp.
Bài tập 24: Tìm a  N sao cho (23 - a)(a - 3) là số chính phƣơng.
Giải
Đặt: (23 - a)(a - 3) = b2, b  N.
Suy ra: (a - 13)2 = 100 - b2  (a - 13)2 + b2 = 102
Đây là bộ ba số "Pitago" nên ta có: b = 0; 6; 8; 10.
Do đó: a = 23; 21; 19; 13; 3; 5; 7
Vậy có 7 giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán: a= 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23.
Bài tập 25: Tìm tất cả các số tự nhiên n khác 0 sao cho số:
q = n4 + n3 + 1
Biên soạn: Trần Trung Chính

7

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
là một số chính phƣơng.
Giải
Ta có: n4 + n3 + 1 > (n2)2
Do đó: n4 + n3 + 1 = (n2 + k)2, k  N*.
 n2(n - 2k) = k2 - 1 (*)
 k2 - 1  n2.
Suy ra: k2 - 1 = 0 v k2 - 1 = n2
Với k2 - 1 = 0, k  N*
k=1
n=2
q = 52 (thỏa mãn)
Xét k  N*, k > 1. Ta có:
n2  k2 - 1 < k2
 n < k, (*) vô lý.
Do đó duy nhất có một giá trị của n thỏa mãn yêu cầu của bài toán là n = 2.
Bài tập 26: Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n - 65 là hai số chính phƣơng.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Quốc học Huế năm học 2001 - 2002)
Giải
Theo đề bài, ta có:
2

n  24  p
, p, q  N, p > q

2
n

65

q


 p2 - q2 = 89
 (p + q)(p - q) = 89
Ta có: p, q  N và p > q  p + q, p - q  N và p + q > p - q > 0
Do đó, ta có:
 p  q  89
p  45

 n  2001

p  q  1
q  44
Vậy số tự nhiên phải tìm là n = 2001.
Bài tập 27: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phƣơng.
(Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học KHTN - ĐHQG Hà Nội năm học 2002 - 2003)
Giải
Giả sử n2 + 2002 là một số chính phƣơng.
n2 + 2002 = m2, với n, m  Z.
 (m + n)(m - n) = 2002
m + n và m - n là hai số chẵn.
 (m + n)(m - n)  4  2004  4, vô lý.
Vậy không tồn tại số nguyên n để n2 + 2002 là một số chính phƣơng.
Bài tập 28: Thay các dấu (*) bằng các chữ số sao cho số sau là một số tự nhiên:
A  6 4****

Giải
Ta có:
A  6 4****  A6  4****
A6 có chữ số đầu tiên bên trái là 4.
 10000  A6  100000
 100  A3  317
4A là một số tự nhiên  A = 5 hoặc A = 6.
Với A = 5  A6 = 15625, không thỏa
Với A = 6  A6 = 46 656,

Vậy số phải tìm là: A  6 46656
Biên soạn: Trần Trung Chính

8

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com

Bài tập 29: Tìm số chính phƣơng gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của
số đó có tổng các chữ số là một số chính phƣơng.
Giải
Gọi số phải tìm là abcd , với a, b, c, d nguyên và 1  a  9, 0  b, c, d  9
abcd chính phƣơng  d = 0, 1, 4, 5, 6, 9
d nguyên tố  d = 5.
Đặt: abcd = k2 < 10000  32  k  100.
k là một số có 2 chữ số mà d = 5 nên k tận cùng bằng 5.
Tổng các chữ số của k là một số chính phƣơng.
Do đó: k = 45 và abcd = 2025
Vậy số phải tìm là 2025.
Bài tập 30: Tìm một hình vuông có số đo diện tích là một số tự nhiên gồm 4 chữ số mà 2 chữ số đầu
giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Giải
So đo diện tích của hình vuông phải tìm có dạng aabb , với a, b  N và 1  a  9, 0b9.
 abcd = k2 , k  N, 32  k < 100 (k là cạnh hình vuông)
 11(100a + b) = k2
Do đó:
k2  11  k   k = 11t
 100a + b = 11t2 với 3  t  9
(1)
 a + b  11
(2)
Với a, b  N, 1  a  9, 0  b  9, ta có:
1  a + b  18
(3)
Từ (2) và (3), suy ra: a + b = 11
Từ (1), suy ra: 9a + 1 = t 2
 t2 - 1 = 9a2
(4)
2
Suy ra: t - 1  9  (t + 1)(t - 1)  3
Vì (t + 1) - (t - 1) = 2
Nên t + 1 và t - 1 không đồng thời chia hết cho 3.
a) Nếu t + 1  3 thì (4)  t + 1  9 mà 3  t  9
t+1=9
 t = 8  a = 7  b = 4.
Suy ra aabb = 7744 = 882
b) Nếu t - 1 3 thì (4)  t - 1  9 (loại).
Vậy hình vuông phải tìm có cạnh đo đƣợc 88 đơn vị.
Bài tập 31: Tìm một số tự nhiên sao cho:
a) Nếu thêm 64 hoặc bớt đi 35 ta đều đƣợc một số chính phƣơng.
b) Nếu thêm 51 hoặc bớt đi 38 ta đều đƣợc một số chính phƣơng.
Giải
a) Đặt: A - 35 = k2 và A + 64 = t2, với k, t  N.
Suy ra: (t + k)(t - k) = 99
Do đó:

t  50
t  18
t  10
V 
V 

k  49
k  15
k  1
Ta tìm đƣợc A = 2436; 260; 36.
b) Các bạn giải tƣơng tự câu a.
Bài tập 32: Cho A là một số chính phƣơng gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một
đơn vị thì ta đƣợc số chính phƣơng B. Hãy tìm các số A và B.
Giải
Biên soạn: Trần Trung Chính

9

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
Theo đề bài, ta có:
2

abcd  k
k, m  N

2
a

1
b

1
c

1
d

1

m







Với a, b, c, d  N và 1  a  9 và 0  b, c, d  9
2

abcd  k

2

abcd  1111  m
Với k, m  N và 32  k < m < 100
 m2 - k2 = 1111
 (m + k)(m - k) = 1111 = 101.111
Ta có: 0 < m - k < m + k < 200
Do đó:
m  k  101 m  56


m  k  11
k  45
A  2025
Vậy 
B  3136
Bài tập 33: Tìm một số chính phƣơng gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2
chữ số sau 1 đơn vị.
Giải
Đặt: abcd  k 2 , k  N .

Ta có: ab  cd  1 và 32  k < 100
Suy ra: 101 cd = k2 - 100 = (k + 10)(k - 10)
 (k + 10) 101 hoặc (k - 10)  101
Mà (k - 10, 101) = 1  k + 10  101
42  k + 10 < 110
 k  1  101

 cd  81, k=91
Do đó: 
k

10

cd


Vậy abcd  8281  912
Số phải tìm là 8281.
Bài tập 34: Tìm một số chính phƣơng có 3 chữ số và chia hết cho 56.
Giải
Gọi số phải tìm là abc , với a, b, c N và 1  a  9, 0  b, c  9.
Theo giả thiết ta có:
2
abc  k , k  N

abc  56l, l  N
 k2 = 56l = 4.14l (1)
 l = 14q2, q N
Mặt khác, ta lại có: 100  56l  999  2  l  17
(2)
Từ (1) và (2), ta có: q = 1; l = 14.
Vậy số chính phƣơng phải tìm là 784.
Bài tập 35: Cho a và b là 2 số chính phƣơng lẻ liên tiếp, chứng minh:
ab - a - b + 1  192
Giải
Đặt: a = (2n - 1)2 và b = (2n + 1)2 với n N.
Suy ra:
A = 4n(n - 1) + 1 và b = 4n(n + 1) + 1.
 (a - 1)(b - 1) = 16n2(n - 1)(n + 1)
Biên soạn: Trần Trung Chính

10

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com

(n - 1)n và (n + 1)n đều chia hết cho 2 và (n + 1)(n - 1)n  3
Do đó: (a - 1)(b - 1)  192 (đpcm)
Bài tập 36: Chứng minh rằng một số chính phƣơng có ƣớc số lẻ và đảo lại.
Giải
Giả sử: A  11 .22 ...nn , với  i là số tự nhiên và  i là số nguyên tố và i  1,2,...,n
Ta có: 1  12  1 ... n  1 là số lẻ

Rõ ràng là 1  1, 2  1,..., n  1 đều là số lẻ nên  i chẵn.
Vậy A là số chính phƣơng.
Đảo lại: A là số chính phƣơng.
Suy ra: A  1 1 .2 2 ...n n , với  i nguyên tố, k i  N và i  {1, 2, ..., n}
Số ƣớc của A là (2k1 + 1)(2k2 + 1) ... (2kn + 1) lẻ
Suy ra đpcm.
Bài tập 37: Cho một số tự nhiên n sao cho 2n = a2 + b2. Chứng tỏ a và b cùng tính chất và n cũng là
tổng của 2 bình phƣơng.
Giải
2
2
a + b = 2n  a2 + b2 2
a2 và b2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Hay a và b cùng tính chất chẵn lẻ.
Suy ra: a + b và a - b đều chẵn (giả sử a > b > 0)
Đặt:
a + b = 2x
a - b = 2y, với x, y  Z.
Suy ra: a = x + y và b = x - y
Do đó: 2n = 2(x2 + y2)
Vậy n = x2 + y2, (đpcm)
Bài tập 38: Tìm những số tự nhiên A sao cho A chia hết cho 359 thì có số dƣ bằng số thƣơng.
a) Tìm số nhỏ nhất chia hết cho 35.
b) Có số A nào là số chính phƣơng nhỏ nhất không? Có bao nhiêu số A chính phƣơng?
Giải
Đặt: A = 359q + r, (q, r  N, q = r < 359), q  0.
Vì q = r nên A = 360q
a) A  35  360q  35  q  7, q  0.
Vì A nhỏ nhất nên q = 7.
Ta có: A = 2520.
b) A = n2, (n N)  360q = n2
 q = 10m2, (m  Z)
 q = 10 (A nhỏ nhất)
Ta có: A = 360.
A = 360q = e2  q = 10t2, (t  N)
Suy ra có 5 số nhƣ vậy (vì q < 359)
3600, 14400, 32400, 57600, 90000)
Bài tập 39: Tìm một số có 4 chữ số biết rằng số đó có 4 ƣớc số, gấp 2 lần ƣớc số đó là một số chính
phƣơng và chia hết cho 7 thì dƣ 4.
Giải
2.abcd chính phƣơng nên abcd  22m 1 t 2n , t nguyên tố và m , n N.
Ta có:
2m(2n + 1) = 6  m = 1, n = 1  abcd  2t 2
Ta lại có:
abcd  4 7  t 2  7k  2  t  7l  3
Hoặc t = 7l + 4, k, l  N
2k

2k

2k

Biên soạn: Trần Trung Chính

11

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
1000  abcd < 10000  23  t  70, t nguyên tố và có dạng 7l + 3 hoặc 7l + 4.
Suy ra: t = 31, 53, 59, 67.
Suy ra: abcd = 1992, 5618, 6962, 8978
Vậy có 4 số thỏa yêu cầu: 1992, 5618, 6962, 8978.
Bài tập 40: Cho A là một số tự nhiên gồm 100 chữ số, trong đó 99 chữ số 5 và một chữ số khác 5.
Chứng minh rằng A không thể là số chính phƣơng.
Giải
Giả sử A = k2, với kN
A chỉ có thể tận cùng 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Nếu A tận cùng bằng 5  k = 5l, l  N
A lẻ, suy ra k lẻ  l = 2m + 1
 k = 5(2m + 1), m  N.
A = k2 = 25(2m + 1)2 = 100m2 + 100m + 25.
Suy ra A tận cùng bởi 25
A = 555 ... 500 + 25
 m(m + 1), vô lý
Lần lƣợt chứng minh A không thể tận cùng bằng 0, 1, 4, 6, 9.
Do đó A không phải là một số chính phƣơng.
Bài tập 41: Một số gồm 4 chữ số, đọc ngƣợc lại không đổi chai hết cho 5, có thể là một số chính
phƣơng không?
Giải
Giả sử A là số chính phƣơng.
A 5 nên A tận cùng là 5 hoặc 0. Loại số 0.
Theo giả thiết, ta có:

A  5aa5
Vì A là số chính phƣơng nên a = 2 nhƣng số 5225 không phải là số chính phƣơng.
Vậy A không chính phƣơng.
Bài tập 42: Tìm số dƣ của phép chia của một số chính phƣơng lẻ cho 8.
Áp dụng: Nếu một số chẵn là tổng của hai số bình phƣơng, số dƣ của phép chia của số ấy cho 8 bằng
bao nhiêu? Nếu một số lẻ là tổng của bình phƣơng, số dƣ của phép chia của số ấy cho 4 bằng bao
nhiêu?
Giải
2
1) x lẻ nên x lẻ
Đặt: x = 2n + 1, n  N.
Suy ra: x2 = 4n(n + 1) + 1
 x2 = 8t + 1, t  N
Do đó số chính phƣơng lẻ chia cho 8 dƣ 1.
2) Cho z = 2n = x2 + y2
 x và y cùng tính chất.
a) x và y cũng chẵn.
x = 2m, y = 2m'
z = 4(m2 + m'2)
- Nếu m và m' cùng chẵn.
m= 2k và m' = 2k'
 16(k2 + k'2) = 16p = 8q  đpcm.
- Nếu m và m' đều trái tính chất, giả sử:
m = 2k và m' = 2k' + 1
 z = 4[4k2 + 4k'(k' + 1) + 1] = 16p' + 4 = 8q' + 4  đpcm.
b) Trƣờng hợp x và y cùng lẻ"
 z = 8l + 2  đpcm.
3) Cho b = 2a + 1 = x2 + y2=
 x và y cùng trái tính chất chẵn, lẻ.
Biên soạn: Trần Trung Chính

12

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com

Giả sử x = 2m, y = 2m' + 1
 b = 4m2 + 4m'(m' + 1) + 1
 b = 4z + 1
 đpcm.
Bài tập 43: Tìm số có hai chữ số mà bình phƣơng của số ấy bằng lập phƣơng của tổng các chữ số
của nó.
Giải
Số phải tìm có dạng ab , với a, b  N và 1  a  9, 0  b  9
Theo giả thiết, ta có:
2

ab   a  b   10a  b    a  b 
3

2

3

(1)

Hệ thức (1) chứng tỏ ab là một số lập phƣơng.
ab = t3, t  N
Và (a + b) là một số chính phƣơng.
a + b = l2, l  N.
10  ab  99  ab = 27 hoặc ab = 64

ab = 27  a + b = 9
ab = 64  a + b = 10  l2 (loại)
Vậy số phải tìm là ab = 27.
Bài tập 44: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phƣơng là một số có 4 chữ số giống nhau.
Giải
Cách 1:
A = (2n - 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3)
= 12n2 + 12n + 11
= aaaa = 1111a, (vì a lẻ và 1  a  9)
 11(101a - 1) = 12n(n + 1)
 101a - 1  3
Mà 1  2a - 1 17 và 2a - 1 lẻ nên 2a - 1 = 3, 9, 15
Vì a lẻ do đó: a = 5  n = 21.
Vậy 3 số phải tìm là 41, 43, 45.
Cách 2:
A = x2 + (x + 2)2 + (x + 4)2
= 3x2 + 12x + 20
= aaaa = 1111a, a lẻ
 3(x + 2) = 1111a - 8
 1111a - 8 3
 a - 2  3  a = 5, 8
Mà a lẻ nên a = 5
 x = 41
Suy ra 3 số phải tìm là 41, 43, 45.
Bài tập 45: Cho x2 + 2y là một số chính phƣơng với x, y  N. Chứng minh x2 + y bằng tổng của 2
số chính phƣơng.
Giải
Vì x, y  N nên x2 + 2y > x
Do x2 + 2y là số chính phƣơng, ta có:
x2 + 2y = (x + t)2, với t  N.
 2y = t2 + x  t = 2k, k  Z+
Do đó: 2y = 4k2 + 4kx  y = 2k2 + 2kx,
 x2 + y = (x + k)2 + k2, đpcm.
Bài tập 46: Tìm những số nhỏ hơn một triệu chia hết cho 61 và 5 sao cho phần còn lại khi tìm căn
Biên soạn: Trần Trung Chính

13

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
bậc hai của chúng lại bằng nửa giá trị của căn bậc hai đó.
Giải
Gọi số phải tìm là abcdef , với a, b, c, d, e, f là những số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 9, ít nhất một
trong các chữ số a, b, c, d, e, f khác 0.
Theo giả thiết, ta có:





pqr pqr 2pqr  1

2
2
pqr là căn bậc hai thiếu chƣa tới 1 của abcdef
Theo giả thiết, ta suy r chẵn
 pqr  5
abcdef  5  
2pqr  1 5
Do đó r = 0 hoặc r = 2
2

abcdef = pqr 

abcdef  61  pqr  61

Hoặc 2pqr  1 61
Xét: pqr  61  100  pqr  61t  1000, t  N
 2  t  16
Vì r = 0 nên t tận cùng bằng 0  t = 10.
Nếu r = 2 thì t tận cùng bằng 2  t = 2 hoặc t = 12
Do đó: pqr = 122, 610, 732
Suy ra số phải tìm:
Xét: 2pqr  1 61  2pqr  1  61k, k  N và 1  k  32

pqr tận cùng là 0 hoặc 2 nên 2 pqr + 1 tận cùng bằng 1 hoặc 5.
Do đó:
K = 1, 5, 11, 15, 21, 25, 31
 pqr = 30, 152, 335, 457, 640, 762, 945
Mặt khác: r = 0, 2
 pqr = 30, 152, 640, 762
Suy ra số phải tìm.
Vậy các số phải tìm là 915, 14945, 23180, 372405, 409920, 536190, 581025.
Bài tập 47: Tìm số chính phƣơng có 4 chữ số chia hết cho 33.
Giải
Đặt: abcd  A2
A2 33  A2 3, A2 11
Suy ra A  3 và A 11
Do đó: A2  9 và A2  121
(121, 9) = 1 nên A2  1089
Hay A2 1089t2, t  N
Mặ khác 1000  abcd  9999  1  t 2  9
abcd = 1089, 4356, 9801
Vậy có ba số thỏa mãn yêu cầu là 1089, 4356, 9801.
Bài tập 48: Tìm số có 4 chữ số vừa là một số chính phƣơng vừa là một số lập phƣơng.
Giải
abcd = x2 = y3, x, y  N
Do đó y cũng là một số chính phƣơng.
1000  abcd  9999
Biên soạn: Trần Trung Chính

14

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com

 10  y  21
Do y chính phƣơng, suy ra y = 16
abcd = 4096.
Vậy có duy nhất một số thỏa yêu cầu là 4096.
Bài tập 49: Tìm 2 số tự nhiên a và b sao cho tích của chứng là một số chính phƣơng và hiệu của
chúng là một số nguyên tố p.
Giải
Gọi d = (a, b)
a  da'

 a, b   1
 b  db'
ab = k2  d2a'b' = k2 (*)
 k2  d2  k  d  k = dk'
Từ (*)  a'b' = k'2
Vì (a', b') = 1, a'b' = k'2
Nên a' và b' đều là số chính phƣơng.
a' = u2, b' = v2 với (u, v) = 1
 a = du2, b = dv2
Mặt khác, ta có:
p
a - b = p  a' - b' =
d
Bài tập 50: Cho S1 = 1.2.3; S2 = 2.3.4; S3 = 3.4.5, ..., Sn = n(n + 1)(n + 2).
Đặt: S= S1 + S2 + ... + Sn. Chứng minh 4S + 1 là một số chính phƣơng.
Giải
Ta có:
4S= 4(S1 + S2 + ... + Sn) = 4(1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2))
= 1.2.3(4 - 0) + 2.3.4(5 - 1) + ... + n(n + 1)(n + 2)((n + 3) - (n - 1))
= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3)-(n-1)n(n+1)(n + 2)
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Suy ra: 4S + 1 = (n2 + 3n + 1)2
Vậy 4S + 1 là một số chính phƣơng.
Bài tập 51: Tìm một số có hai chữ số biết rằng nó bằng lập phƣơng của một số tự nhiên và tổng các
chữ số của nó bằng bình phƣơng của một số tự nhiên đó.
Giải
Theo giả thiết, ta có:
ab  t 3 và a + b = t2, với t  N.
1  a + b  18  1  t2  18
1t4
ab  10  t 3  10  t  3  t  3 v t = 4 (loại)
Vậy ab  27 .
Bài tập 52: Tìm một số có 2 chữ số biết rằng số đó bằng bình phƣơng tổng các chữ số của nó.
Giải
Gọi số phải tìm là: ab , với a, bN và 1  a  9, 0  b  9
Theo giả thiết, ta có:
ab = (a + b)2
Một số học sinh nhận xét rằng ab là một số chính phƣơng có 2 chữ số. Do đó ab chỉ có thể là một
trong các số:
16, 25, 36, 49, 64, 81
Thử thì thấy chỉ có số 81 là thích hợp.
Do đó số phải tìm là số 81.
Suy nghĩ nhƣ vậy thì đơn giản quá. Cần phải tìm những cách Giải hay hơn.
Biên soạn: Trần Trung Chính

15

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.
Bài tập 53: Tìm 3 số sao cho tổng bình phƣơng các số gấp 2 lần tổng các tích của các số đó lấy từng
đôi một.
Giải
2
2
x + y + z2 = 2(xy + yz + zx)
 4xy = (x + y - z)2
Chọn x = ha2
y = kb2, với a, b, k  N.
Giả sử a > b
Ta có: z = k(a  b)2
Vậy 3 số phải tìm là ka2, kb2, k(a  b)2, với k, a, b  N và a > b.
Bài tập 54: Tìm số có hai chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập
phƣơng các chữ số của số đó.
Giải
ab (a + b) = a3 + b3
 10a + b = a2 - ab + b2 = (a + b)2 - 3ab
 3a(3 + b) = (a + b)(a + b - 1)
a + b và a + b - 1 nguyên tố cùng nhau.
a  b  3a
a  b  3  b
Do đó: 
hoặc 
a  b  1  3  b
a  b  1  3a
Suy ra: a = 4, b = 8 hoặc a = 3, b = 7.
Suy ra: ab = 48 hoặc ab = 37
Vậy có 2 số thỏa mãn yêu cầu của bài toán là 37; 48.
Bài tập 55: Tìm một số chính phƣơng có 4 chữ số sao cho số gồm 2 chữ số cuối chia hết cho số gồm
2 chữ số đầu.
Giải
Gọi số chính phƣơng phải tìm là A2 = abcd , với a, b, c, d  N
và 1  a  9; 0  b, c, d  9.
Theo giả thiết, ta có:

cd  k . ab do đó: c  1, với k  N và 1  k  9
Ta suy ra:
A2 = 100 ab + cd = (100 + k) ab
Vì ab < 100 nên 100 + k không thể là số nguyên tố
101  100 + k  109
k  1, 3, 7, 9
Ta xét lần lƣợt k = 2, 4, 5, 6, 8
Với k = 2.
Ta có: A2 = 102. ab = 2.3.17. ab
 ab = 2.3.17t2, tN
Điều này vô lý.
Ta xét tƣơng tự với các số còn lại.
Số phải tìm là abcd = 1296 = 362, (ứng với k = 8)
Bài tập 56: Tìm số chính phƣơng có 4 chữ số chia hết cho 147 và tận cùng là 9.
Giải
Gọi số phải tìm là A
A 147  A 3
A chính phƣơng, 3 nguyên tố nên A  9
 A 441
Đặt A = 441k, k chính phƣơng.
Vì 1000  441k  10000
Biên soạn: Trần Trung Chính

16

.: CHUYEÂN ÑEÀ OÂN THI MOÂN TOAÙN VAØO LÔÙP 10 THPT :.

www.VNMATH.com

 3  k  22
Vì A tận cùng là 9 nên k tận cùng là 9, k chính phƣơng, do đó k = 9
Suy ra A = 3969.
Vậy số phải tìm là 3969.
Bài tập 57: Tìm những số chính phƣơng gồm 4 chữ số tận cùng bởi 2 chữ số bằng nhau và khác 0.
Giải
Không có số chính phƣơng nào tận cùng bởi một trong các chữ số 2, 3, 7, 8.
Do đó ta chỉ xét xem có những số chính phƣơng nào tận cùng bởi 11, 44, 55, 66, 99
Xem số ab = 10a + b
 ab 2 = 100a2 + 10.2ab + b2
Ta suy ra:
2

- Chữ số hàng đơn vị của số ab chính là chữ số hàng đơn vị của số b2.
2

- Chữ số hàng chục của số ab bằng chữ số hàng...